stange


STANGE


Autor: Gerhard Kemme

 

Ausgangsfrage: Wie groß ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Bewegungsimpuls vom Stangenanfang bis zum Stangenende fortpflanzt? Eine solche Stange wird als eine Aneinanderreihung von federnd gelagerten Masseteilen verstanden.
Erste Teilaufgabe:
Eine Masse m_0 prallt auf eine Feder, an der eine Masse m_1 befestigt ist. Wie hängen die Wege S_0 und S_1, sowie die Geschwindigkeiten V_01 und V_1 voneinander ab?
Anhand eines vereinfachten Beispieles soll die Rechnung vorgeführt werden:
m_0=m_1=1 kg ; v_0=1m/s ; D=1kg/s²

Die Bewegungsenergie der Masse m_0 setzt sich in Spannarbeit und verbleibender Bewegungsenergie um:
W_kin0=W_spann+W_kin01 ; 1/2mv²_0=1/2Ds²+1/2mv²_01 ; 1=S²+S`²
Diese Differentialgleichung kann durch Einsetzung von S=sin(t) gelöst werden.
Man erhält 1=sin²(t)+cos²(t). Diese Form ist vom Einheitskreis her bekannt. Die Lösung
S=sin(t)
kann auch algebraisch bestimmt werden aus:
1=S²+v²_01 ; v_01=sqrt(1-S²)
v_01=dS/dt ; dt=dS/v_01
t=Int dS/v_01=Int dS/sqr(1-S²)=[arcsin(S)]
t(S)=arcsin(S) ; S=sin(t)
Somit gilt dann auch
v_01=sqrt(1-S²)=sqrt[1-sin²(t)]=cos(t) ; v_01=cos(t)
Weiterhin gilt, dass die Kraft, welche die Bremsung, d.h. die Verzögerung bewirkt, gleich der Federkraft ist:
F_brems=F_feder ; m*a=-D*S.
Somit a=-S oder S''=-S ; S''+S=0 mit Lösung S=sin(t).
Der Bezug zur Masse m_1 wird dadurch hergestellt, dass die Feder nur gespannt werden kann, wenn eine entsprechende Gegenkraft vorhanden ist. Diese wird gebildet durch die Beschleunigungskraft
F=m_1*a_1 der Masse m_1, d.h. -D*S=m_1*a_1 ; -S=a_1.
Die Geschwindigkeit v_1 von m_1 errechnet sich wie folgt:
a_1=dv_1/dt ; -S=dv_1/dt ; dv_1=-S*dt ; dv_1=-sin(t)*dt ;
v_1=-Int[sin(t)]dt=-[cos(t)]=1-cos(t) ; v_1=1-cos(t).
Der Weg, den die Masse m_1 in der Zeit t zurücklegt, wäre dann: v_1=dS_1/dt ;
dS_1=v_1*dt ; S_1=Int(v_1)*dt=Int[1-cos(t)]*dt=[t-sin(t)] ; S_1=t-sin(t).
Wählt man nun z.B. t=2,5*10^(-9)s als Zeit, so erhält man eine Geschwindigkeit von
v_1(t=2,5*10^(-9)s)=1-cos(t= 2,5*10^(-9)s)=3,1249999*10^(-18)m/s ;
d.h. innerhalb von t=2,5*10^(-9)s ist der Bewegungsimpuls über eine Strecke von ca. 1m übertragen worden. Somit erfolgte dies mit einer Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle von:
v=S/t=1m/2,5*10^(-9)s=4*10^8m/s=400000km/s >Lichtgeschwindigkeit.
Dieses Ergebnis ist nur sehr theoretisch, da es sich einerseits bei den Werten von
t= 2,5*10^(-9)s und v_1(t=2,5*10^(-9)s)= 3,1249999*10^(-18)m/s
um unrealistisch kleine Werte handelt und da aufgrund des Zusammenhanges von
v_01=cos(t) und v_1=1-cos(t)
eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit angenommen wird, was auch nicht plausibel wäre.

 
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